Teoria Controle Digital de Sistemas Dinâmicos

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Todo sistema em malha aberta que contenha ao menos um polo integrador é instável.

Sistemas em Tempo Contínuo:

A constante de tempo caracteriza a velocidade de variação da saída de um SLIT de primeira ordem.

A transformada de Laplace da derivada de um sinal depende das condições iniciais do sinal no tempo.

Todo sistema linear satisfaz o princípio da superposição.

SLITs de primeira ordem podem apresentar zeros em sua função de transferência.

Todo SLIT tem sua relação entrada-saída expressa por uma função de transferência.

O degrau unitário é a integral do impulso unitário.

O sinal degrau representa típicos sinais de referência para um sistema de controle.

A convolução de dois sinais no domínio do tempo traduz-se no produto de suas transformadas de Laplace no domínio da frequência.

A resposta ao impulso é uma representação matemática de um sistema.

A invariância temporal está associada à invariância das leis que regem o comportamento do sistema.

A resposta ao impulso é a transformada de Laplace inversa da função de transferência de um SLIT.

Sinais e Sistemas em Tempo Discreto:

Toda rampa pode ser escrita como uma combinação linear de degraus unitários.

Exponenciais discretas podem apresentar comportamento oscilatório.

Uma exponencial discreta oscilatória pode ser equivalentemente expressa como o produto entre uma senóide discreta e uma exponencial discreta não-oscilatória.

A resposta ao impulso de um sistema discreto é o próprio sistema codificado em um sinal.

Todo SLIT discreto pode ser representado matematicamente por um somatório de convolução.

A resposta ao impulso de um SLIT discreto codifica todas as características dinâmicas do sistema presentes em sua relação entrada-saída.

Sistemas estáveis podem ser descritos pelo somatório de convolução.

A convolução entre dois degraus produz um degrau.

Exponenciais discretas são sinais que representam comportamentos físicos que podem existir no mundo real.

A diferença finita de primeira ordem da resposta ao degrau de um SLIT discreto é igual à sua resposta ao impulso.

A resposta ao impulso de uma conta corrente ideal é um degrau unitário.

A resposta ao degrau de um SLIT discreto é a soma acumulada de sua resposta ao impulso.

Todo sistema linear tem sua relação entrada saída descrita por um somatório de convolução

Transformada Z:

Todo SLIT discreto pode ser descrito por meio de uma equação de diferenças e, consequentemente, por meio de uma função de transferência discreta que pode ser obtida a partir de um cálculo de transformada Z.

O teorema do valor final não é capaz de nos dizer se um sistema é estável ou instável.

A transformada Z de um produto de degraus no tempo não é igual ao produto das suas transformadas Z individuais.

O teorema da convolução pode ser utilizado para se evitar o cálculo da operação de convolução.

Tanto sistemas discretos estáveis quanto instáveis podem ser representados por meio de funções de transferência discretas.

O modelo em função de transferência discreta de uma conta corrente ideal não é um exemplo de um sistema estável.

O teorema do valor final nos permite analisar o comportamento de SLITs estáveis no seu regime permanente

Sinais discretos apresentam representações no domínio da frequência por meio da sua transformada Z.


Transformada Z inversa:

O método da série de potências pode ser utilizado para se analisar a causalidade de um SLIT discreto.

Y(z) = (z^2 + 2z + 1)/(z*(z+1)) corresponde a um sinal y(k) de duração finita.

O método da fórmula de inversão sempre será aplicável quando o método da expansão em frações parciais também for aplicável.

A aplicação do método da fórmula de inversão a uma razão de polinômios Y(z) equivale à resolução da integral que define a transformada Z inversa.

Todo SLIT contínuo pode ser discretizado por meio do uso da aproximação de Euler para derivadas, e a transformada Z aplicada à equação de diferenças assim obtida nos permite obter a sua função de transferência discreta.

Y(z) = (z-1)/(z^2 - 2z +1) não corresponde um sinal y(k) de duração finita.

Toda equação de diferenças linear e com parâmetros constantes pode ser resolvida por meio da aplicação da transformada Z e da transformada Z inversa.

O método da série de potências pode ser utilizado quando a transformada Z do sinal para o qual se busca uma representação no domínio do tempo apresentar algum pólo com multiplicidade maior que 1.

Representações em variáveis de estado:

A velocidade de resposta e a estabilidade de um SLIT estão codificadas na matriz A.

O modelo matemático em variáveis de estado discreto pressupõe que os SLITs assim representados são causais.

O demônio de Laplace representa uma concepção determinista do universo que está subjacente à modelagem matemática de sistemas dinâmicos no espaço de estados

Todo SLIT pode ser representado por uma infinidade de modelos no espaço de estados diferentes entre si.

Uma transformação de similaridade sempre preserva os autovalores da matriz A inalterados.

Amostragem e reconstrução de sinais:

A entrada de um segurador de ordem zero é da forma de um trem de impulsos cujos pesos correspondem ao valor do sinal amostrado naqueles respectivos instantes.

Sempre é possível calcular a Função de Transferência Pulsada de um certo SLIT descrito por uma função de transferência Gp(s).

A associação em série de um segurador de ordem zero com um SLIT apresenta a mesma ordem (do ponto de vista dinâmico) do SLIT original.

E*(s) e E(s) representam, respectivamente, a entrada e saída de um dispositivo que faz a 'ponte' entre o mundo dos sinais discretos e o mundo dos sinais contínuos.

Transformada estrelada X*(s) e Função de Transferência Pulsada:

A transformada estrelada pode ser entendida como um passo intermediário entre a transformada de Laplace e a transformada Z.

As expressões das transformadas estreladas podem ser representadas como razões de polinômios.

A associação em série de um segurador de ordem zero com um SLIT apresenta a mesma ordem (do ponto de vista dinâmico) do SLIT original

A Função de Transferência Pulsada de um certo sistema sempre será da mesma ordem que a sua respectiva função de transferência Gp(s).

Sempre é possível calcular a Função de Transferência Pulsada de um certo SLIT descrito por uma função de transferência Gp(s).

A transformada estrelada X*(s) pode apresentar pólos.

A Função de Transferência Pulsada de um SLIT sempre dependerá do valor do parâmetro T, isto é, do intervalo de amostragem.


Ganho em estado estacionário de sistemas amostrados. Sistemas em malha aberta com filtros digitais:

Todo filtro ou controlador digital que seja um SLIT tem sua relação entrada-saída descrita por uma função de transferência discreta D(z).

A associação em série de sistemas envolvendo um ou mais amostradores ideais podem resultar num sistema equivalente que não pode ser expresso por meio de uma função de transferência.

A posição em que se localiza um amostrador ideal numa associação em série não afeta o modelo matemático equivalente do sistema como um todo.

O segurador de ordem zero tem ganho unitário.

A equação de diferenças e a função de transferência discreta de um controlador digital são modelos que sempre guardam equivalência entre si.

Sistemas em malha fechada com filtros digitais:

O tempo de amostragem T afeta o valor dos pólos de um sistema de controle digital em malha fechada.

Pólos complexos conjugados no caso de sistemas de controle digitais em malha fechada sempre implicam comportamento oscilatório do sinal de saída para qualquer tipo de sinal de referência.

O percentual de overshoot, ou sobressinal, de um sistema de controle em malha fechada digital de segunda ordem será sempre maior quanto menor for o parâmetro \zeta.

É desejável que todo sistema de controle em malha fechada digital apresente ganho dc unitário.

Sistemas de tempo discreto em malha fechada de primeira ordem podem apresentar comportamento oscilatório quando submetidos a entradas do tipo degrau.

Mapeamento do plano s no plano z. Precisão de estado estacionário

Todo sistema em malha aberta que contenha ao menos um polo integrador é instável.

Seja um sinal arbitrário x(t) de tempo contínuo. Todo pólo no semiplano esquerdo s será mapeado para dentro do circulo de raio unitário centrado na origem no plano z, independentemente do valor do intervalo de amostragem T utilizado em um procedimento de amostragem de x(t).

Dois pólos complexos conjugados no plano s podem ser mapeados para um mesmo valor no plano z, a depender do valor do intervalo de amostragem T.

Transformação bilinear (ou transformação de Tustin). Critério de Routh-Hurwitz

Diferente valores de T para um mesmo Gp(s) definem diferentes funções de transferência G(w).

O critério RH aplicável a funções de transferência do tipo Gp(s) é o mesmo critério aplicável a funções de transferência do tipo G(w).

O critério RH é aplicável tanto à analise de SLITs em malha aberta quanto à analise de SLITs em malha fechada.

O critério RH pode ser utilizado como uma ferramenta que auxilia o projeto de controladores para um sistema de controle digital.

Método do Lugar das Raízes

O lugar das raízes pode ser utilizado como uma ferramenta para o projeto de controladores que não sejam puramente proporcionais.

Existem sistemas de primeira ordem cujas malhas fechadas com um controlador proporcional nunca se tornam instáveis, independentemente do valor de K_pr, isto é, para K_pr entre zero e infinito

O lugar das raízes associado a uma G(z) com dois pólos e um zero pode apresentar ponto(s) de partida.

No plano G(z), a equação característica é sempre representada por um ponto sobre o eixo real.

O utilizar das raízes pode ser utilizado como uma ferramenta para o projeto de controladores que não sejam puramente proporcionais.

Considerando-se um controlador proporcional, o lugar das raízes associado ao sistema G(z) = 1/(z-1)^2 apresenta um ponto de partida e resulta numa malha fechada sempre instável.

Projeto de controladores via síntese direta: Controlador Dead-beat e controlador de Dahlin

Controladores projetados pelo método da síntese direta podem ser instáveis.

No método da síntese direta, a equação de síntese pode ser utilizada para o projeto de controladores que resultem numa malha fechada alvo Td(z) com comportamento oscilatório.

No método da síntese direta, a equação de síntese pode ser utilizada para o projeto de controladores que resultem numa malha fechada alvo Td(z) com comportamento oscilatório.

O controlador dad-beat e o controlador de Dahlin possuem ao menos um pólo integrador.

Saturação de atuador é um problema que deve ser levado em consideração no projeto de controladores via síntese direta, especialmente em se tratando do controlador dead-beat.

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Todo sistema em malha aberta que contenha ao menos um polo integrador é instável.
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